1. MATRIKE, SISTEMI LINEARNIH ENAČB IN NEENAČB

V naslednjih poglavjih bomo potrebovali tudi nekaj matematičnega znanja. Zato bomo v tem poglavju spoznali nekaj osnovnih pojmov o matrikah in se naučili, kako računamo z njimi ter grafično in računsko reševali sisteme linearnih enačb in neenačb.

1.1 Matrike

Preden bomo zapisali, kaj je matrika, poglejmo naslednji primer. Ladja je iz Afrike pripeljala velike zabojnike banan, srednje zabojnike limon in male zabojnike ananasa. Tovor je iztovorila v štirih evropskih pristaniščih. V Barceloni je iztovorila 15 velikih, 3 srednje in 8 malih zabojnikov, v Genovi 20 velikih, 7 srednjih in 3 male zabojnike, v Bariju 5 velikih, 12 srednjih in 16 malih zabojnikov ter v Trstu 33 velikih, 10 srednjih in 7 malih zabojnikov. Dane podatke uredimo v spodnjo preglednico.

Pristanišče	Zabojniki
Pristanišče	veliki	srednji	mali
Barcelona	15	3	8
Genova	20	7	3
Bari	5	12	16
Trst	33	10	7

Naše podatke pa lahko zapišemo v drugačni obliki, bolj primerni za računanje. Vse numerične podatke uredimo v tabelo, omejeno z oglatimi oklepaji.

Takšno tabelo v matematiki imenujemo matrika.

Matrika je pravokotna tabela števil. Sestavljena je iz vrstic in stolpcev. Števili vrstic in stolpcev matrike določata njeno dimenzijo oz. razsežnost: če ima matrika m vrstic in n stolpcev, je njena razsežnost enaka m x n. Matrike označujemo z velikim tiskanimi črkami. Števila, ki nastopajo v matriki, imenujemo elementi matrike. Lego vsakega elementa matrike določimo tako, da povemo, v kateri vrstici in v katerem stolpcu leži.

Splošni zapis matrike razsežnosti m x n je takšen:

ali krajše

pri čemer smo označili z a_ij tisti element, ki leži v i-ti vrstici in v j-tem stolpcu matrike. Prvi indeks nam torej pove, v kateri vrstici je izbran element, drugi indeks pa pove, v katerem stolpcu se nahaja. Element a_ij imenujemo tudi (i,j)-ti element matrike A. Indeks i lahko zavzame vrednosti od 1 do m, indeks j pa vrednosti od 1 do n, kar označimo tako: i = 1, 2 … m in j = 1, 2 … n.

Matrika iz zgornjega primera je razsežnosti 4 x 3: ima 4 vrstice in 3 stolpce. Element a₄₂ poiščemo v četrti vrstici in drugem stolpcu: a₄₂= 10. V prvi vrstici so element1 a₁₁= 15, a₁₂= 3, a₁₃= 8, v drugi vrstici so elementi a₂₁= 20, a₂₂= 7, a₂₃= 3 v tretji vrstici so elementi a₃₁= 5, a₃₂= 12, a₃₃= 16, v četrti vrstici pa so elementi a₄₁= 33, a₄₂= 10, a₄₃= 7.

1.2 Enakost matrik

Matriki in sta enaki, če imata enaki dimenziji (m = p in n = s) in če so istoležni elementi v obeh matrikah enaki: a_ij = b_ij za vsak i = 1, 2 … m in j = 1, 2 … n.

Zgled:

Matriki in sta enaki, če je: a = -1, b = 2 in c = -3.

***

1.3 Posebni primeri matrik

Matrika razsežnosti 1 x 1 je skalar

[a] = a

Matriko z enim samim stolpcem imenujemo stolpčni vektor ali stolpec.

Matriko z eno samo vrstico imenujemo vrstični vektor.

Ničelna matrika je matrika, v kateri so vsi elementi enaki 0. Običajno označimo ničelno matriko reda m x n s simbolom 0_mxn= 0.

Kvadratna matrika je matrika, ki ima enako število vrstic in stolpcev (n = m). Za kvadratno matriko razsežnosti n x n rečemo, da je reda n. Vse elemente kvadratne matrike z enakima indeksoma (a_ii, i = 1, 2 … n) imenujemo diagonalni elementi. Ti elementi tvorijo glavno diagonalo matrike.

Simetrična matrika je kvadratna matrika A, za katero velja: A^T= A. To pomeni, da je a_ij = a_ji za vsak i,j = 1, 2 … n.

Zgornjetrikotna matrika je matrika, ki ima vse elemente pod glavno diagonalo enake 0.

Diagonalna matrika je kvadratna matrika, v kateri so vsi elementi izven glavne diagonale enaki 0.

Skalarna matrika je diagonalna matrika, ki ima vse elemente na glavni diagonali med seboj enake.

Enotska ali identična matrika je skalarna matrika, ki ima vse elemente na glavni diagonali enake 1.

1.4 Računanje z matrikami

1.4.1. Množenje matrik s skalarjem

Produkt matrike z realnim številom je matrika

Zgled:

Izračunajmo produkt matrike s številom = -3.

Rešitev:

***

Lastnosti množenja matrik s skalarjem:

• (βA) = (β)A

• 1 · A = A

• 0 · A = 0

1.4.2. Seštevanje matrik

Vsota matrik in je enaka matriki

Vsoto matrik A in B lahko izračunamo le, če sta obe matriki enakih dimenzij.

Zgled:

Izračunajmo vsoto matrik in

Rešitev:

***

Lastnosti seštevanja matrik:

• A + B = B + A

• A + (B + C) = (A + B) + C

• A + 0 = A

• (A + B) = A + B

• ( + β)A = A + βA

1.4.3. Odštevanje matrik

Razlika matrik in je enaka matriki

Razliko matrik A in B lahko izračunamo le, če sta obe matriki enakih dimenzij.

Zgled:

Izračunajmo razliko matrik in

Rešitev:

***

Lastnosti odštevanja matrik:

• A – 0 = A

• A – A = 0

1.4.4. Množenje matrik

Produkt matrik in , za kateri velja, da je število stolpcev v prvi matriki enako številu vrstic v drugi matriki, je matrika

Element c_ij produkta matrik A in B dobimo tako, da i-to vrstico matrike A skalarno pomnožimo z j-tim stolpcem matrike B:

Zgled:

Izračunajmo produkt matrik in

Rešitev:

***

Lastnosti množenja matrik:

• (AB)C = A(BC)

• (A + B)C = AC + BC

• A(B + C) = AB + AC

• (AB) = (A)B = A(B)

• AI = IA = A

• A0 = 0A = 0

• Komutativnost množenja matrik (AB = BA) v splošnem ne velja

Inverzna ali obratna matrika matrike A je matrika A^-1, za katero velja

AA^-1= A^-1A = I

Inverz lahko določamo le za kvadratno matriko, pa tudi za vsako kvadratno matriko ne obstaja. Matriko, za katero obstaja inverz, imenujemo obrnljiva matrika.

Za obrnljivi matriki A, B ustreznih dimenzij in za poljubno realno število veljajo naslednje lastnosti:

• (A^-1)^-1 = A

• (A)^-1 = ^-1A^-1 , ≠ 0

• (AB)^-1 = B^-1A^-1

Zgled:

Ugotovimo, ali je matrika inverzna matrika matrike

Rešitev:

Izračunajmo AB in BA.

Ker je AB = BA = I, je matrika B res inverzna matrika matrike A: B = A^-1.

***

1.4.5. Transponiranje matrik

Transponirano matriko matrike A dobimo tako, da zamenjamo istoležne vrstice in stolpce, torej matriko »prezrcalimo« čez glavno diagonalo. Označimo jo z A^T. Če je matrika

potem je njena transponirana matrika enaka

Torej: za simetrično matriko A velja: A^T=A.

Lastnosti transponiranja matrik:

• (A^T)^T = A

• (A + B)^T = A^T + B^T

• (A)^T = A^T

• (AB)^T = B^TA^T

Zgled:

Določimo transponirano matriko matrike

Rešitev:

***

1.5 Sistem linearnih enačb

Zapišimo sistem m linearnih enačb z n neznankami:

a_ij (i = 1, 2 … m, j = 1, 2 … n) so koeficienti sistema, b_i (i = 1, 2 … m) so prosti členi, x_j (i = 1, 2 … n) pa so neznanke (m in n sta poljubni naravni števili) Števili m in n sta lahko med seboj enaki (število enačb je enako številu neznank) ali različni (število enačb je manjše ali večje od števila neznank). Če sta števili m in n enaki, sistem imenujemo kvadratni sistem.

Če so vsi prosti členi enaki 0, sistem imenujemo homogeni sistem. Če niso vsi prosti členi enaki 0, pa sistem imenujemo nehomogeni sistem.

Rešitev sistema so števila x₁, x₂, …., x_n, ki ustrezajo vsem enačbam v sistemu. Rešiti sistem pomeni poiskati vse rešitve sistema ali dokazati, da sistem nima rešitev. Glede števila rešitev imamo natanko tri možnosti:

• sistem nima nobene rešitve,

• sistem ima eno rešitev,

• sistem ima neskončno rešitev.

Vsak homogeni sistem ima vsaj eno rešitev, in sicer x_i= 0 (i = 1, 2 … n). To rešitev imenujemo trivialna rešitev.

Sistem, ki ima vsaj eno rešitev, imenujemo rešljiv sistem. Sistem, ki nima nobene rešitve pa imenujemo nerešljiv sistem.

Sistema, ki imata iste rešitve, imenujemo ekvivalentna sistema.

Vsak sistem linearnih enačb lahko zapišemo kot eno enačbo, in sicer kot matrično enačbo. Za to pa potrebujemo osnovno matriko sistema. To je matrika, v katero zapišemo koeficiente sistema.

Neznanke in proste člene zapišemo kot stolpčna vektorja.

Zgornji sistem linearnih enačb lahko zapišemo v obliki matrične enačbe:

Popolno informacijo o sistemu pa vsebuje tudi razširjena matrika sistema. To je matrika, ki jo dobimo tako, da osnovni matriki sistema dodamo stolpec prostih členov.

Zgled:

Dan je sistem dveh linearnih enačb s tremi neznankami.

Sistem je nehomogen, ker prosta člena nista enaka 0.

Osnovna matrika sistema je

Stolpčna vektorja neznank in prostih členov sta

in .

Dan sistem je ekvivalenten matrični enačbi:

Razširjena matrika sistema je

Izberimo stolpce , in in preverimo, ali je kateri izmed njih rešitev danega sistema.

Stolpec je rešitev danega sistema, ker je 2·0+3·1+1·(-2)=1 in 1·0+(-1)·1+(-2)·(-2)=3.

Stolpec je rešitev danega sistema, ker je 2·2+3·(-1)+1·0=1 in 1·2+(-1)·(-1)+(-2)·0=3.

Torej je sistem rešljiv in ima več kot eno rešitev. Iz česar sledi, da ima dani sistem neskončno rešitev.

Preverimo, ali je tudi npr. stolpec rešitev danega sistema: 2·(-2)+3·1+1·2=1, toda 1·(-2)+(-1)·1+(-2)·2=-7≠3, zato stolpec S₃ ni rešitev danega sistema.

***

1.5.1. Reševanje sistemov linearnih enačb

Sistem linearnih enačb lahko rešimo na več različnih načinov. Eden izmed njih je Gauss-Jordanova eliminacijska metoda. To pomeni, da bomo sistem linearnih enačb pretvorili v razširjeno matriko, to pa bomo pretvorili na zgornjetrikotno obliko, iz katere bomo na preprost način določili rešitve sistema.

Z razširjeno matriko smemo izvajati naslednje operacije, ki jih imenujemo tudi elementarne transformacije:

1. menjamo lahko vrstni red vrstic (ker vrstni red vrstic razširjene matrike sistema predstavlja vrstni red enačb sistema; vrstni red enačb v sistemu pa ni pomemben),

2. menjamo lahko vrstni red stolpcev, a le v osnovni matriki sistema (ker vrstni red stolpcev osnovne matrike predstavlja vrstni red neznank sistema; vrstni red neznank v sistemu pa ni pomemben, zapomniti si moramo le kako se je vrstni red spremenil, da vemo, katera neznanka pripada kateremu stolpcu),

3. vsako vrstico lahko pomnožimo oz. delimo s poljubnim številom, različnim od 0 (ker množenje vrstice pomeni množenje enačbe na obeh straneh z istim številom, kar pa ne vpliva na rešitve enačbe),

4. k poljubni vrstici lahko prištejemo mnogokratnik kake druge vrstice, le-ta pa mora ostati nespremenjena,

5. vrstico samih ničel lahko izbrišemo (ker vrstica samih ničel pomeni identično enačbo 0 = 0).

Rešitve sistema se s tem ne spremenijo.

S pomočjo zgoraj opisanih operacij razširjeno matriko sistema spremenimo v zgornjetrikotno matriko. Le-ta pa ima eno od spodnjih treh oblik, kjer * predstavljajo poljubno realno število. (Zaradi enostavnosti matrike niso zapisane kot splošne matrike poljubne velikosti, ampak so podane kar kot matrike konkretno določenih velikosti.)

Prva možna oblika je takšna:

V tem primeru sistem ni rešljiv (saj bi v primeru zapisa zadnje vrstice v obliki enačbe dobili 0 = 1),

Zgled:

Rešimo sistem treh enačb s tremi neznankami.

Rešitev:

Osnovna matrika sistema je

stolpčni vektor prostih členov pa je

Torej je razširjena matrika sistema takšna:

Razširjeno matriko sistema bomo s pomočjo elementarnih transformacij postopoma preoblikovali v zgornjetrikotno matriko, ki ima na glavni diagonali same enke.

Najprej moramo na prvem mestu prve vrstice ustvariti enko. Torej bomo prvo vrstico delili z 2.

Prvo vrstico bomo prepisali, v ostalih vrsticah pa bomo na prvih mestih ustvarili ničle. Da bomo na (2,1)-em mestu (v drugi vrstici v prvem stolpcu) naredili ničlo, moramo prvo vrstico pomnožiti z -1 in jo prišteti k drugi vrstici.

Da bomo na (3,1)-em mestu (v tretji vrstici v prvem stolpcu) naredili ničlo, pa moramo prvo vrstico pomnožiti z -4 in jo prišteti k tretji vrstici. Tako dobimo naslednjo matriko:

Element na (2,2)-tem mestu (v drugi vrstici v drugem stolpcu) je že enak ena, zato druge vrstice ni potrebno spreminjati. Pod elementom na (2,2)-tem mestu moramo ustvariti ničle. To bomo naredili tako, da bomo prvo in drugo vrstico prepisali, tretjo pa bomo dobili tako, da bomo drugo vrstico pomnožili z -1 in jo prišteli k tretji.

Dobili smo zgornjetrikotno matriko, saj so pod diagonalo le še ničelni elementi. Če zadnjo vrstico preoblikujemo nazaj v enačbo, dobimo

0x + 0y + 0z = 2, torej 0 = 2.

To pa je protislovje, torej sistem nima rešitev.

***

Druga možna oblika je takšna:

V tem primeru je sistem rešljiv in ima natanko eno rešitev.

Zgled:

Rešimo sistem treh enačb s tremi neznankami.

x + y + z = 0

2x + y - 2z = 10

-3x + y + 2z = -7

Rešitev:

Osnovna matrika sistema je

stolpčni vektor prostih členov pa je

Torej je razširjena matrika sistema takšna:

Razširjeno matriko sistema bomo s pomočjo elementarnih transformacij postopoma preoblikovali v zgornjetrikotno matriko, ki ima na glavni diagonali same enke.

Na prvem mestu prve vrstice je enka, zato je ni potrebno ustvariti. Ta korak izpustimo.

Da bomo na (3,1)-em mestu naredili ničlo, pa moramo prvo vrstico pomnožiti s 3 in jo prišteti k tretji vrstici. Tako dobimo naslednjo matriko:

Na (2,2)-tem mestu moramo ustvariti enko. Torej moramo drugo vrstico deliti z -1.

Pod elementom na glavni diagonali v drugi vrstici moramo ustvariti ničlo. To bomo naredili tako, da bomo prvo in drugo vrstico prepisali, tretjo pa bomo dobili tako, da bomo drugo vrstico pomnožili z -4 in jo prišteli k tretji.

V zadnji vrstici moramo diagonalni element pretvoriti v enko. Torej moramo celotno vrstico deliti z -11.

Dobili smo zgornjetrikotno matriko, saj so pod diagonalo le še ničelni elementi. Rešitev sistema dobimo tako, da najprej zadnjo vrstico preoblikujemo nazaj v enačbo:

1z = -3, torej z = -3.

Nato preoblikujemo v enačbo predzadnjo vrstico in vstavimo dobljeni z:

1y + 4z = -10, torej y = -4z – 10 = -4(-3) – 10 = 2.

Nato pa preoblikujemo v enačbo še prvo vrstico in vstavimo dobljena y in z:

1x + 1y + 1z = 0, torej x = -y - z = -2 – (-3) = 1.

Sistem ima torej natanko eno rešitev: x = 1, y = 2, z = -3.

***

Tretja možna oblika je takšna:

V tem primeru je sistem rešljiv in ima neskončno rešitev.

Zgled:

Rešimo sistem treh enačb s tremi neznankami.

x + 3y - z = 0

-3x - 7y + z = -8

2x + 7y - 3z = -4

Rešitev:

Osnovna matrika sistema je

stolpčni vektor prostih členov pa je

Torej je razširjena matrika sistema takšna:

Razširjeno matriko sistema bomo s pomočjo elementarnih transformacij postopoma preoblikovali v zgornjetrikotno matriko, ki ima na glavni diagonali same enke.

Na prvem mestu prve vrstice je enka, zato je ni potrebno ustvariti. Ta korak izpustimo.

Prvo vrstico bomo prepisali, v ostalih vrsticah pa bomo na prvih mestih ustvarili ničle. Da bomo na (2,1)-em mestu naredili ničlo, moramo prvo vrstico pomnožiti s 3 in jo prišteti k drugi vrstici.

Da bomo na (3,1)-em mestu naredili ničlo, pa moramo prvo vrstico pomnožiti z -2 in jo prišteti k tretji vrstici. Tako dobimo naslednjo matriko:

Na (2,2)-tem mestu moramo ustvariti enko. Torej moramo drugo vrstico deliti z 2.

V zadnji vrstici so same ničle, zato jo lahko izbrišemo.

Dobili smo zgornjetrikotno matriko, saj so pod glavno diagonalo le še ničelni elementi. Rešitev sistema dobimo tako, da najprej zadnjo vrstico preoblikujemo nazaj v enačbo:

1y - 1z = -4, torej y = z - 4.

Nato preoblikujemo v enačbo prvo vrstico in vstavimo dobljeni y:

1x + 3y - z = 0, torej x = -3y + z = -3z +12 +z = -2z + 12.

Sistem ima torej neskončno rešitev: x = -2z + 12, y = z – 4, kjer je z poljubno realno število. (Npr. če je z = 0, je x = 12 in y = -4; če je z = 2, je x = 8 in y = -2 …)

***

Zdaj pa rešimo še en »malo večji« sistem, ki ni kvadraten.

Zgled:

Rešimo sistem s petimi enačbami in šestimi neznankami.

-2x₁+ 4x₂ - 6x₃ + 8x₄ - 10x₅ + 12x₆ = 22

-2x₁ + 5x₂ - 8x₃ + 11x₄ - 14x₅ + 17x₆ = 13

-x₁ + 4x₂ – 6x₃ + 9x₄ - 12x₅ + 15x₆ = -29

4x₁ - 9x₂ + 15x₃ - 19x₄ + 23x₅ - 27x₆ = -52

3x₁ - 7x₂ + 11x₃ - 14x₄ + 18x₅ - 12x₆ = -4

Rešitev:

Osnovna matrika sistema je

stolpčni vektor prostih členov pa je

Torej je razširjena matrika sistema takšna:

Razširjeno matriko sistema bomo s pomočjo elementarnih transformacij postopoma preoblikovali v zgornjetrikotno matriko, ki ima na glavni diagonali same enke.

Na prvem mestu prve vrstice moramo ustvariti enko. Torej bomo prvo vrstico delili z (-2), ostale vrstice pa bomo prepisali.

Prvo vrstico bomo prepisali, v ostalih vrsticah pa bomo na prvih mestih ustvarili ničle. Da bomo na (2,1)-em mestu naredili ničlo, moramo prvo vrstico pomnožiti z 2 in jo prišteti k drugi vrstici. Da bomo na (3,1)-em mestu naredili ničlo, moramo prvo vrstico prišteti k tretji vrstici. Da bomo na (4,1)-em mestu naredili ničlo, moramo prvo vrstico pomnožiti z (-4) in jo prišteti k četrti vrstici. Da bomo na (5,1)-em mestu naredili ničlo, pa moramo prvo vrstico pomnožiti z (-3) in jo prišteti k peti vrstici. Tako dobimo naslednjo matriko:

Na (2,2)-tem mestu moramo ustvariti enko. V našem primeru je na tem mestu že enka, torej ta korak izpustimo.

Pod elementom na glavni diagonali v drugi vrstici moramo ustvariti ničle. Prvo in drugo vrstico bomo prepisali. Da bomo na (3,2)-em mestu ustvarili ničlo, moramo drugo vrstico pomnožiti z (-2) in jo prišteti k tretji vrstici. Da bomo na (4,2)-em mestu naredili ničlo, moramo drugo vrstico prišteti k četrti vrstici. Da bomo na (5,2)-em mestu naredili ničlo, moramo drugo vrstico prišteti k peti vrstici.

Na (3,3)-jem mestu moramo ustvariti enko. V našem primeru je na tem mestu že enka, torej ta korak izpustimo.

Pod elementom na glavni diagonali v tretji vrstici moramo ustvariti ničle. Prvo, drugo in tretjo vrstico bomo prepisali. Da bomo na (4,3)-jem mestu ustvarili ničlo, moramo tretjo vrstico pomnožiti z (-1) in jo prišteti k četrti vrstici. Na (5,3)-jem mestu je že ničla, zato je tam ne rabimo ustvariti. Torej peto vrstico kar prepišemo.

Na (4,4)-em mestu moramo ustvariti enko. V našem primeru je na tem mestu že enka, torej ta korak izpustimo.

Pod elementom na glavni diagonali v četrti vrstici moramo ustvariti ničlo. Prvo, drugo, tretjo in četrto vrstico bomo prepisali. Da bomo na (5,4)-em mestu ustvarili ničlo, moramo četrto vrstico pomnožiti z (-1) in jo prišteti k peti vrstici.

Dobili smo zgornjetrikotno matriko, saj so pod glavno diagonalo le še ničelni elementi. Rešitev sistema dobimo tako, da najprej zadnjo vrstico preoblikujemo nazaj v enačbo:

1x₅ + 8x₆ = 15, torej x₅ = -8x₆ + 15.

Nato preoblikujemo v enačbo predzadnjo vrstico in vstavimo dobljeni x₅:

1x₄ – 2x₅ + 3x₆ = 5, torej x₄ = 2x₅ - 3x₆ + 5 = 2(-8x₆+15) - 3x₆ + 5 = -19x₆ + 35.

Tretjo vrstico preoblikujmo v enačbo in iz nje izrazimo x₃:

1x₃ - 1x₄ + 1x₅ - 1x₆ = -22, torej x₃= x₄- x₅+ x₆– 22 = (-19x₆ + 35) – (-8x₆ + 15) + x₆ – 22 = -10x₆ – 2.

Drugo vrstico preoblikujmo v enačbo in iz nje izrazimo x₂:

x₂ - 2x₃ + 3x₄ - 4x₅ + 5x₆ = -9, torej x₂= 2x₃ - 3x₄+ 4x₅- 5x₆– 9 = 2(-10x₆ – 2) - 3(-19x₆ + 35) + 4(-8x₆ + 15) - 5x₆ – 9 = -58.

Prvo vrstico preoblikujmo v enačbo in iz nje izrazimo x₁:

x₁ - 2x₂ + 3x₃ - 4x₄ + 5x₅ - 6x₆ = -11, torej x₁ = 2x₂ - 3x₃ + 4x₄- 5x₅+ 6x₆– 11 = 2(-58) – 3(-10x₆ – 2) + 4(-19x₆ + 35) – 5(-8x₆ + 15) + 6x₆ – 11 = -56.

Sistem ima torej neskončno rešitev: x₁ = -56, x₂= -58, x₃ = -10x₆ – 2, x₄ = -19x₆ + 35, x₅ = -8x₆ + 15, kjer je x₆ poljubno realno število. (Npr. če je x₆ = 0, je x₁ = -56, x₂= -58, x₃ = –2, x₄ = 35 in x₅ =15.)

***

S pomočjo pravkar opisanega postopka lahko izračunamo inverzno matriko poljubne obrnljive matrike.

1.6 Inverzna matrika

Pojem inverzne matrike smo spoznali že v poglavju o množenju matrik, kjer smo zapisali, da je inverzna ali obratna matrika matrike A matrika A^-1, za katero velja

AA^-1= A^-1A = I.

Povedali smo tudi, da lahko inverz določamo le za kvadratno matriko.

Poglejmo, kako si z Gauss-Jordanovo eliminacijsko metodo pomagamo pri določanju inverzne matrike.

Naj bo A poljubna obrnljiva matrika. Najprej zapišemo razširjeno matriko [A|I], kjer je I enotska matrika enake dimenzije kot matrika A. S pomočjo elementarnih transformacij matriko A pretvorimo v enotsko matriko. S tem na desni strani razširjene matrike dobimo inverzno matriko matrike A: [I|A^-1].

Zgled:

Določimo inverzno matriko naslednje matrike:

Rešitev:

Zapišimo razširjeno matriko [A|I]:

S pomočjo elementarnih transformacij moramo matriko A pretvoriti v enotsko matriko.

Najprej moramo ustvariti na prvem mestu prve vrstice enko. V našem primeru je na tem mestu že enka, torej ta korak izpustimo.

Prvo vrstico bomo prepisali, v ostalih vrsticah pa bomo na prvih mestih ustvarili ničle. Da bomo na (2,1)-em mestu naredili ničlo, moramo prvo vrstico pomnožiti z -2 in jo prišteti k drugi vrstici. Da bomo na (3,1)-em mestu naredili ničlo, pa moramo prvo vrstico pomnožiti z 2 in jo prišteti k tretji vrstici. Tako dobimo naslednjo matriko:

Na (2,2)-tem mestu je enka, zato je ni potrebno ustvariti. Ta korak izpustimo.

Na (3,3)-tem mestu moramo ustvariti enko. To bomo naredili tako, da bomo prvo in drugo vrstico prepisali, zadnjo pa bomo delili z (-1).

Tako smo dobili zgornjetrikotno matriko. Da bomo na levi strani razširjene matrike dobili enotsko matriko, moramo ustvariti ničle še na levi strani razširjene matrike nad glavno diagonalo.

Zadnjo vrstico bomo prepisali, v ostalih vrsticah pa bomo v tretjem stolpcu ustvarili ničle. Da bomo na (1,3)-em mestu ustvarili ničlo, moramo zadnjo vrstico pomnožiti z -1 in jo prišteti k prvi vrstici. Da bomo na (2,3)-em mestu ustvarili ničlo, pa moramo zadnjo vrstico pomnožiti z 2 in jo prišteti k drugi vrstici.

Nad elementom na glavni diagonali v drugi vrstici moramo ustvariti ničlo. To bomo naredili tako, da bomo drugo in tretjo vrstico prepisali, prvo pa bomo dobili tako, da bomo drugo vrstico prišteli k prvi.

Na levi strani razširjene matrike smo ustvarili enotsko matriko, torej je desna stran razširjene matrike enaka inverzni matriki začetne matrike.

Izpišimo inverz matrike A:

***

Zgled:

Določimo inverzno matriko naslednje matrike:

Rešitev:

Zapišimo razširjeno matriko [A|I]:

S pomočjo elementarnih transformacij moramo matriko A pretvoriti v enotsko matriko.

Najprej moramo ustvariti na prvem mestu prve vrstice enko. V našem primeru je na tem mestu že enka, torej ta korak izpustimo.

Na (2,2)-tem mestu moramo ustvariti enko, torej bomo drugo vrstico delili z dva, prvo in tretjo pa bomo prepisali.

V zadnji vrstici smo na levi strani razširjene matrike dobili same ničle. Z elementarnimi transformacije na levi strani razširjene matrike ni možno dobiti enotske matrike. Torej za matriko A ne obstaja inverzna matrika. V tem primeru rečemo, da matrika A ni obrnljiva.

***

Kot smo že omenili, nima vsaka kvadratna matrika inverzne matrike. Poglejmo si naslednji primer.

Primer:
Dana je matrika.

Izračunajmo njej inverzno matriko .

Rešitev:
Inverzno matriko računamo po Gauss-Jordanovi metodi. Elementarne operacije izvajamo na razširjeni matriki

Delimo najprej prvo vrstico s 4 in dobimo:

slika

Drugi vrstici prištejmo z (-2) pomnoženo prvo vrstico:

slika

V drugi vrstici smo na levi strani dobili na obeh mestih nič, zato z uporabo elementarnih operacij (samo na vrsticah!) na nikakršen način ne uspemo dobiti matrične enote in s tem tudi ne inverzne matrike.

Matrika torej nima inverzne matrike.

***

Računanje inverznih matrik je dolgotrajno, še zlasti, kadar imamo opraviti z matrikami večjih dimenzij. Inverzne matrike večjih dimenzij bomo računali z uporabo računalnika. programov, ki to omogočajo, je veliko. Inverzno matriko lahko izračunamo že z uporabo EXCELA.

Primer:

slika

Rešitev:
Računalniški program EXCEL da rezultat:

-0,7	0,2	0,3
-1,3	-0,2	0,7
0,8	0,2	-0,2

Velja torej:

slika

***

1.7 Sistemi linearnih neenačb

Linearna neenačba z dvema neznankama je neenačba oblike:

kjer so a, b in c koeficienti neenačbe, x je neodvisna, y pa odvisna spremenljivka. Množica rešitev linearne neenačbe je ena od obeh polravnin, na kateri premica razdeli ravnino. Če je c >0, je to polravnina, ki vsebuje izhodišče; če pa je c < 0, pa polravnina, ki ne vsebuje izhodišča.

Zgled:

Določimo množico rešitev neenačbe

Rešitev:

Najprej narišimo premico z enačbo . Določimo presečišče z osjo x (v enačbo premice vstavimo, ):

Torej premica seka os x v točki . Določimo še presečišče z osjo y (v enačbo premice vstavimo, ):

Torej premica seka os y v točki .

Skozi dobljeni točki narišimo premico. Narišimo jo s črtkano črto, ker le-ta ni vključena v množico rešitev (to nam pove znak >).

Določiti moramo še, katera polravnina je rešitev naše neenačbe. Le-to pa določimo na osnovi naslednje ugotovitve: ker je koeficient c manjši od 0 ( ), iskana polravnina ne vsebuje izhodišča. Torej rešitev dane neenačbe predstavljajo vse točke polravnine nad premico .

Slika 1

***

Zgled:

Določimo množico rešitev neenačbe .

Rešitev:

Najprej narišimo premico z enačbo . Določimo presečišče z osjo x (v enačbo premice vstavimo, ):

Torej premica seka os x v točki . Določimo še presečišče z osjo y (v enačbo premice vstavimo, ):

Torej premica seka os y v točki . Skozi dobljeni točki narišimo premico. Narišimo jo s polno črto, ker je tudi ta vključena v množico rešitev (to nam pove znak ).

Določiti moramo še, katera polravnina je rešitev naše neenačbe. Da bomo lahko iz neenačbe prebrali koeficient c, jo moramo zapisati v takšni obliki . Ker je koeficient c večji od 0 ( ), iskana polravnina vsebuje izhodišče. Torej rešitev dane neenačbe predstavljajo vse točke polravnine nad premico in na njej.

Slika 2

***

Zapišimo sistem m linearnih neenačb z n neznankami:

Če označimo z A osnovno matriko sistema, z B vektor prostih členov in z X vektor neznank, lahko zgornji sistem zapišemo v obliki matrične neenačbe:

Množica rešitev sistema linearnih neenačb je presek množic rešitev posameznih neenačb.

Kadar ima sistem neenačb le dve neznanki, se reševanja najpogosteje lotimo grafično.

Zgled:

Rešimo sistem neenačb:

Rešitev:

KORAK 1:
Narišimo premici:

KORAK 2:
Da bomo lahko določili, kateri polravnini moramo pobarvati, neenačbi zapišimo tako, da bosta neenačaja obrnjena v ustrezno smer:

Torej za obe neenačbi velja: iskana polravnina vsebuje izhodišče. Narišimo obe polravnini v isti koordinatni sistem.

KORAK 3:
Upoštevati moramo še zadnji dve neenačbi in , ki nam povesta, da se množica rešitev našega sistema nahaja v prvem kvadrantu.

Množica rešitev danega sistema neenačb je presek vseh polravnin, ki jih določajo vse 4 neenačbe.

Slika 3

Naš sistem ima neskončno rešitev. Predstavili smo jih s šrafirano množico na zgornji sliki.

***

Zgled:

Rešimo sistem neenačb:

Rešitev:

KORAK 1:
Narišimo premice:

KORAK 2:
Da bomo lahko določili, katere polravnine moramo pobarvati, neenačbe zapišimo tako, da bodo neenačaji obrnjeni v ustrezno smer:

Torej za prvo neenačbo velja: iskana polravnina ne vsebuje izhodišča. Za drugo in tretjo neenačbo pa velja: iskani polravnini vsebujeta izhodišče. Narišimo vse tri polravnine v isti koordinatni sistem.

KORAK 3:
Upoštevati moramo še zadnji dve neenačbi: in , ki nam povesta, da se množica rešitev našega sistema nahaja v prvem kvadrantu. Množica rešitev danega sistema neenačb je presek vseh polravnin, ki jih določa vseh 5 neenačb.

Slika 4

Naš sistem ima natanko eno rešitev: , .

***

Zgled:

Rešimo sistem neenačb:

Rešitev:

Narišimo premico: in pobarvajmo ustrezno polravnino (tisto, ki ne vsebuje izhodišča).

Slika 5

Upoštevati moramo še neenačbi in , ki nam povesta, da iščemo rešitve v prvem kvadrantu. Ker dobljena polravnina nima nobene skupne točke s prvim kvadrantom (presek je prazna množica), naš sistem nima nobene rešitve.

***

Vsak sistem linearnih neenačb ima lahko neskončno rešitev, natanko eno rešitev ali pa nima nobene rešitve.

1.8 Konveksne množice

Množica točk je konveksna, če za njeni poljubni točki A in B velja: daljica AB je tudi element množice .

Velja: množica rešitev sistema linearnih neenačb je konveksna množica.

Zgled:

Vsak trikotnik je konveksna množica točk, ker velja: za poljubni točki A in B v trikotniku je tudi celotna daljica AB v trikotniku.

graf

Slika 6

Zvezda pa ni konveksna množica točk, ker obstajata takšni točki C in D, ki sta v zvezdi, daljica CD pa ni celotna v zvezdi.

graf

Slika 7

Vsa oglišča konveksnega lika imenujemo ekstremne točke konveksne množice. Vse ostale točke (npr. vse notranje točke) konveksne množice pa imenujemo neekstremne točke.

Linearna funkcija ima na konveksni množici ekstrem (maksimum oz. minimum):

• v eni točki, in sicer v eni od ekstremnih točk konveksne množice, na kateri je definirana;

• v neskončno točkah, in sicer na daljici med dvema ekstremnima točkama, v katerih linearna funkcija doseže isto ekstremno vrednost;

• nima ekstrema, in sicer v primeru, ko ustrezen sistem linearnih neenačb nima rešitev.

Torej: ekstreme (minimum ali maksimum) funkcije iščemo v ogliščih konveksne množice točk, na kateri je funkcija definirana.

***

Zgled:

Določimo ekstreme linearne funkcije na konveksni množici, definirani s sistemom neenačb:

Rešitev:

Narišimo konveksno množico in določimo ekstremne točke (oglišča konveksnega lika).
(Slika 8: KORAK 1)

Točka C je presečišče premic in . Torej moramo rešiti sistem dveh enačb z dvema neznankama. vstavimo v drugo enačbo in dobimo: , zato je . Koordinate drugih ekstremnih točk pa lahko preberemo s skice: , , .

Izračunajmo vrednosti linearne funkcije v vseh ekstremnih točkah konveksne množice:

Torej funkcija zavzame na dani konveksni množici najmanjšo vrednost 0 (minimum) v točki A, in največjo vrednost 3 (maksimum) v točki C.

Poglejmo še eno možno pot reševanja naše naloge.

Točki, v katerih dana funkcija doseže maksimalno oz. minimalno vrednost, bi lahko določili tudi na grafičen način. V isti koordinatni sistem kot smo narisali našo konveksno množico, narišimo še premico z enačbo . V našem primeru je to premica .
(Slika 8: KORAK 2)

Da bomo dobili točko, v kateri dana funkcija doseže maksimum, moramo rdečo premico vzporedno premakniti čim višje, pri čemer moramo upoštevati, da mora zraven tega imeti vsaj eno skupno točko s konveksno množico.
(Slika 8: KORAK 3)

Slika 8

Vidimo, da je točka, ki jo iščemo, točka C. (Če bi premico premaknili še višje, s konveksno množico ABCD ne bi imela nobene skupne točke.) Torej funkcija doseže maksimum v točki , in sicer .

Minimum pa bo funkcija dosegla v točki, ki jo bomo dobili tako, da bomo rdečo premico vzporedno premaknili čim nižje, pri čemer moramo spet upoštevati, da zraven tega mora imeti vsaj eno skupno točko s konveksno množico.

Na predzadnji sliki vidimo, da je točka, ki jo iščemo, točka A. (Če bi premico premaknili še nižje, s konveksno množico ABCD ne bi imela nobene skupne točke.)

Torej funkcija doseže minimum v točki , in sicer .

***

Zgled:

Določimo ekstreme linearne funkcije na konveksni množici, definirani s sistemom neenačb:

Rešitev:

Narišimo konveksno množico in določimo ekstremne točke (oglišča konveksnega lika).

(Slika 9: KORAK 1)

Točka A je presečišče premic in . Torej moramo rešiti sistem dveh enačb z dvema neznankama. vstavimo v drugo enačbo in dobimo: , zato je . Koordinati druge ekstremne točke pa lahko preberemo s skice: .

Izračunajmo vrednost linearne funkcije v obeh ekstremnih točkah konveksne množice:

Da bomo lahko določili, ali smo dobili minimum ali maksimum, moramo izračunati še vrednost funkcije v poljubni neekstremni točki konveksne množice. Torej izračunajmo vrednost funkcije npr. v točki s koordinatama (5,5):

Ker je vrednost funkcije v neekstremnih točkah konveksne množice večja od vrednosti funkcije v ekstremnih točkah, funkcija v ekstremnih točkah zavzame minimum.

Torej funkcija zavzame na dani konveksni množici najmanjšo vrednost 6 (minimum) v vseh točkah daljice AB. Maksimum funkcije pa na dani konveksni množici ne obstaja.

Poglejmo še eno možno pot reševanja naše naloge.

Točke, v katerih dana funkcija doseže minimalno vrednost, bi lahko določili tudi na grafičen način. V isti koordinatni sistem kot smo narisali našo konveksno množico, narišimo še premico z enačbo . V našem primeru je to premica .
(Slika 9: KORAK 2)

Da bomo dobili točke, v katerih dana funkcija doseže minimum, moramo rdečo premico vzporedno premakniti čim nižje, pri čemer moramo upoštevati, da mora zraven tega imeti vsaj eno skupno točko s konveksno množico.

(Slika 9: KORAK 3)

Slika 9

Vidimo, da so točke, ki jih iščemo, vse točke daljice AB. (Če bi premico premaknili nižje, s konveksno množica ne bi imela nobene skupne točke.) Torej funkcija doseže minimum v vseh točkah daljice AB in sicer .

Maksimum pa bi funkcija dosegla v točki, ki bi jo dobili tako, da bi rdečo premico vzporedno premaknili čim višje, pri čemer bi spet morali upoštevati, da mora zraven tega imeti vsaj eno skupno točko s konveksno množico. Vendar ne glede na to, kako visoko premaknemo rdečo premico, bo le-ta imela skupne točke s konveksno množico, ker je dana konveksna množica neomejena. Torej dana konveksna množica nima maksimuma.

***

1. teden

2. teden

3. teden

4. teden

5. teden

Ta stran je avtorsko zašč itena.

Kakršnakoli zloraba podatkov je kaznjiva.

1. MATRIKE, SISTEMI LINEARNIH ENAČB IN NEENAČB

1.1 Matrike

1.2 Enakost matrik

1.3 Posebni primeri matrik

1.4 Računanje z matrikami

1.4.1. Množenje matrik s skalarjem

1.4.2. Seštevanje matrik

1.4.3. Odštevanje matrik

1.4.4. Množenje matrik

1.4.5. Transponiranje matrik

1.5 Sistem linearnih enačb

1.5.1. Reševanje sistemov linearnih enačb

1.6 Inverzna matrika

1.7 Sistemi linearnih neenačb

1.8 Konveksne množice